Поиск   Новости   Погода   Телепрограмма   Карты   ТВ   Программы   Каталог сайтов   Музыка   Интернет ТВ   Домены   Знакомства   еще

    
   
 
Важное: Петербург | Ленинградская | Зенит | Медведев | Лукашенко | Футбол | Хоккей | НАТО | Путин | Рогозин | Аксенов | Глазьев | Газпром | Крым | Полтавченко | Пушков
Главная
Новости. Общество
Новости политики
Деловые новости
  Курс рубля
Новости спорта
Новости науки
Новости культуры
Религия
Мировые новости
  Сирия
Новости образования
Новости Москвы
Происшествия
Оборона и безопасность
Экология
Туризм
Ленты анонсов
Справки
Фотоленты
Видео
Инфографика
Погода
Ссылки
Карта
Фотогалерея

Искали недавно:
олимпиады
i
Eo
iao
вода+россии
Эксклюзив \\\\\\\\\\\\...
лондон
Крыма
Газпром
динамо
Полтавченко\\\\\\\\\\\...
aa
Эксклюзив+\\\\\\\\\\\\...
Крым
a
o
Вербов
коста
модель
iaoa
Еще...



counter

Новости науки

Математик МФТИ с коллегой доказал теорему, не поддававшуюся никому более 40 лет



Александр Полянский (МФТИ, Россия) и Цзылинь Цзян (Zilin Jiang; Технион, Израиль) доказали гипотезу о покрытии сферы зонами, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейешем Тотом ещё в 1973 году. Доказательство опубликовано в журнале Geometric and Functional Analysis.

Гипотеза Тота тесно связана с другими задачами дискретной геометрии о покрытии полосками, решёнными в XX веке. Изначально ставилась задача о покрытии круга полосками, заключёнными между параллельными прямыми, более известная как задача о дощечках.

Эта задача формулируется так. Есть круг, и его нужно полностью покрыть "дощечками". Дощечка - это участок плоскости между двумя параллельными прямыми. Образно говоря: есть круглая дырка в полу, и её нужно закрыть досками. Они могут перекрываться или не перекрываться между собой, но должны закрывать весь круг, не оставляя "щелей" и "дырок".

Понятно, что можно сразу закрыть дыру одной доской шириной с диаметр круга. Но можно ли взять такой набор дощечек и расположить их так, чтобы они покрывали круг, но их суммарная ширина оказалась меньше диаметра?

Кажется очевидным, что это невозможно. И человеку, далёкому от математики, может показаться странным, что эту банальность кому-то взбрело в голову доказывать.

Но математика - не та наука, в которой бытовая интуиция достойна доверия. Некоторые строго доказанные результаты отправляют её под стол дрожать от ужаса. Например, факт, известный как парадокс Банаха-Тарского. Шар можно разбить на несколько частей таким хитрым образом, что из них можно составить два шара того же радиуса! Выглядит шокирующе, но это не что иное как доказанная теорема.

Так что тот факт, что суммарная ширина дощечек не может быть больше диаметра, нужно было доказывать. И уже упомянутый Альфред Тарский изящно его доказал.



Банг обобщил результат Тарского. Он доказал, что то же самое верно не только для круга, но и для произвольного выпуклого тела. Напомним, что тело называется выпуклым, если для любых двух его точек соединяющий их отрезок окажется внутри этого тела. Например, круг, квадрат и треугольник - выпуклые тела, а полумесяц - нет.

То есть Банг доказал, что суммарная ширина дощечек, покрывающих выпуклое тело, не меньше ширины этого тела. Под шириной тела можно понимать минимальную ширину одной полоски, которая его полностью покрывает.

Задача, над которой работали авторы публикации, принципиально отличается от предыдущих. В ней нужно покрыть сферу особым образом (ниже мы скажем, как именно) построенными зонами.

Возьмём сферу. Поставим две параллельные друг другу плоскости (их можно представлять себе как стены - правда, не обязательно вертикальные) так, чтобы центр сферы оказался ровно посередине между ними. Часть сферы, которая окажется между этими стенами, и будем называть зоной.

Конечно, если расстояние между стенами равно диаметру сферы или больше, то зоной окажется вся сфера. Иначе - только её часть. Шириной зоны будем считать максимальную длину дуги, которая помещается в этой зоне.

Можно ввести понятие зоны и без параллельных плоскостей. Для этого назовём окружность, у которой центр и радиус совпадают с центром и радиусом сферы, большой окружностью. Её можно представлять себе как экватор сферы.

Расстоянием между двумя точками на сфере будем считать длину кратчайшей дуги на сфере, соединяющей эти точки. Такой способ введения расстояния специалисты называют геодезической метрикой.

Теперь выберем любую большую окружность и положительное число П‰. Все точки, которые находятся от этой окружности на расстоянии не больше П‰ /2, и составят зону ширины П‰.



Жёлтым цветом на сфере обозначена одна зона ширины П‰.

Соответственно, требовалось доказать, что суммарная ширина зон, полностью покрывающих сферу единичного радиуса, не меньше числа "пи".

Авторы доказательства были вдохновлены идеей Банга, который доказывал свою теорему от противного. Он предположил, что внутри фигуры существует множество специального вида, одна из точек которого не покрыта дощечками. Математики МФТИ и Техниона, как и Банг, пошли от противного. Они допустили, что суммарная ширина зон, полностью покрывающих сферу, меньше ПЂ.

Исходя из этой предпосылки, они сумели доказать: в пространстве найдётся такое множество точек, что хотя бы одна из них не будет расположена между "стенками". Если она лежит прямо на сфере, задача решена. Если она лежит внутри шара, ограничивающего сферу, то можно построить точку на сфере "над ней", и она тоже не будет зажата между двумя стенками, а значит, не покрыта зонами.

Если же точка лежит снаружи, вне сферы, то можно заменить несколько зон одной зоной той же суммарной ширины. То есть число зон уменьшится, а их суммарная ширина останется прежней. Для них снова можно будет построить множество, хотя бы одна точка которого не будет зажата между "стенками".

Продолжая этот процесс, всё уменьшая и уменьшая число зон, в конце концов мы обязательно получим не зажатую между стенками точку, лежащую прямо на сфере или внутри шара, а в этих условиях задача, как показали авторы, решена.



Полное покрытие сферы пятью зонами.

Таким образом, если предположить, что суммарная ширина зон меньше ПЂ, то на сфере найдётся непокрытая ими точка. Тем самым теорема доказана.

Добавим, что авторы доказали теорему сразу для n-мерного евклидова пространства. Тот факт, что она верна в привычном нам трёхмерном мире, оказывается частным случаем доказанной истины.

Результат авторов кажется очень далёким от реальной жизни. Но он является частью обширного раздела математики, который называется дискретной геометрией. Теоремы этой науки давно применяются, например, для оптимизации кодирования данных. Связана эта область и с теорией графов, которая незаменима в программировании, логистике и многих других областях.

Не говоря уже о том, что математическая истина прекрасна сама по себе. И восхищаться ею можно бесконечно.


Подраздел: Наука

Источник: https://www.vesti.ru/doc.html?id=2962329

05.12.2017 18:54

Голуби понимают абстрактные понятия подобно людям
Астрономы объяснили движение "тектонических плит " в ледяном панцире Европы
Создано устройство для безопасного сбора стволовых клеток при кесаревом сечении
После трансплантации матки женщина родила здорового малыша
Геологи: в ядро Земли могло влиться вещество неродившихся планет
Сейсмологи: гравитация мгновенно известит о мощном землетрясении
Ранняя седина и облысение могут сигнализировать о серьёзном заболевании сердца
Животный жир и пальмовое масло разрушают клеточные мембраны
Чужой среди своих: открыт ещё один опасный побочный эффект приёма антибиотиков
Астрономы определили химический состав кометы Чурюмова-Герасименко
Новые препараты от мигрени сократят количество дней с невыносимой болью
Исследователи назвали главную врачебную ошибку при диагностике диабета
Древние женщины были намного сильнее сегодняшних спортсменок
Инженеры НАСА запустили главные двигатели "Вояджера-1" впервые за 37 лет

Еще...

«Январь, 2018»
ПнВтСрЧтПтСбВс
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031    

Новости науки:

2018-01-19

18:58 Яд стрел древних воинов может стать новым мужским контрацептивом

18:19 Вредитель в горшке: учёные выяснили, как известное растение калечит людей

17:40 Охотники-собиратели оказались виртуозами в распознавании запахов

16:42 Найден первый синтетический фермент - катализатор искусственной жизни

16:10 Меркурий рассказал астрономам, как худеет Солнце

14:10 Планетологи назвали регионы Земли, для которых падение астероида наиболее вероятно

11:39 Сложный выбор: сурки живут дольше, если меньше общаются с сородичами

10:24 Открыта крупнейшая в мире подводная система пещер, хранящая артефакты майя

2018-01-18

18:19 Есть разница: даже пара лишних килограммов может навредить здоровью

17:43 Новый метод поможет прогнозировать будущие политические коррупционные скандалы

16:55 Насекомоядные растения спасут корабли от "прилипал"

15:20 Физики воспроизвели в лаборатории одну из ярчайших вспышек во Вселенной

14:36 Генетики восстановили ДНК давно умершего мужчины, не имея его останков

13:40 Детектор токсинов из бумаги и бактерий сделает безопаснее жизнь населения Африки

12:50 Имплантируемый датчик измерит малейшее давление в организме и бесследно исчезнет

12:04 За здоровьем космонавтов будут следить по их дыханию

10:47 Новая суперспособность: хамелеоны "светятся" под ультрафиолетом

2018-01-17

19:14 Астрономы впервые обнаружили "спокойную" чёрную дыру в шаровом скоплении

18:32 Фазы Луны никак не связаны с крупными землетрясениями

16:39 Учёные выяснили, как стиль музыки влияет на работу мозга пианиста

Page generated: 0.3

(c) 2017 RF1 Systems       Веб серверы | Веб хостинг | Все сайты интернета | Разработка веб сайтов | Программы для ПК